極限値とは
関数f(x)がある場合
xがaに限りなく近づいた場合の、関数f(x)の結果を、以下で表わす
lim f(x) x→a
この場合、aを極限値という。
極限値を含む数式の展開は、基本的に代入すればOK
以下の場合
lim x^2 x→2
xに2を代入して以下となる
2^2 = 4
代入でダメな場合もあり。
以下の場合
lim x^2 + 2x x→0 -------- x
xに0を代入すると、分母が0となり計算できない。
この場合は、別の式に変形してから代入する。
x^2 + 2x -------- x ↓ x + 2 ↓ xに0を代入して 2
関数の傾き
f(x) = 2x
関数の傾きは2で固定
f(x) = x^2の傾きは不定。グラフにすると曲線になる。
極限値を使うと、x^2のグラフの特定地点の傾きを数式で表せる。
hをxの増加分とすると、、、
lim (x+h)^2 - x^2 h→0 ------------- h
xが1の場合、上記数式を展開すると
lim (1+h)^2 - 1^2 h→0 ------------- h ↓ lim 1 + 2h + h^2 - 1 h→0 ------------- h ↓ lim 2h + h^2 h→0 -------- h ↓ lim 2 + h h→0 ↓ 2
たとえば、以下の関数のx=2の時の傾きは
f(x) = x^3 - 1
lim ((2 + h)^3 - 1) - (2^3 - 1) h→0 --------------------------- h ↓ lim {(2 + h)(2 + h)(2 + h) - 1} - 7 h→0 ------------------------------- h ↓ lim {(4 + h^2 + 4h)(2 + h) - 1} - 7 h→0 ------------------------------ h ↓ lim {(8 + 2h^2 + 8h) + (4h + h^3 + 4h^2) - 1} - 7 h→0 ----------------------------------------------- h ↓ lim 6h^2 + 12h + h^3 h→0 ----------------- h ↓ lim 6h + 12 + h^2 h→0 ↓ 12
関数の傾きを算出する数式
xに値を代入せずに数式を展開すると、、、(任意の値x時の傾き)
f(x) = x^3 - 1の場合
lim {(x + h)^3 - 1} - (x^3 - 1) h→0 ------------------------- h ↓ lim {(x + h)(x + h)(x + h) - 1} - (x^3 - 1) h→0 --------------------------------------- h ↓ lim {(x^2 + 2xh + h^2)(x+h) - 1} - (x^3 - 1) h→0 ---------------------------------------- h ↓ lim {(x^3 + hx^2) + (2hx^2 + 2xh^2) + (xh^2 + h^3) - 1} - (x^3 - 1) h→0 -------------------------------------------------------------- h ↓ lim (x^3 + 3hx^2 + 3xh^3 + h^3 - 1) - (x^3 - 1) h→0 ------------------------------------------- h ↓ lim 3hx^2 + 3xh^3 + h^3 h→0 ------------------- h ↓ あと、もうちょい。 lim 3x^2 + 3xh^2 + h^2 h→0 ↓ 3x^2
これが、f(x) = x^3 - 1の任意の点xの傾きを表わす数式となる。
x=2の時は、3*2^2=12
さっきの算出結果とあっている!
導関数の表記
f(x)の導関数は、、、
lim f(x+1) - f(x) h→0 ------------- h
で表わせる。
他にも以下の表記があり。
f'(x)
また
・ f(x)
またまた
d df(x) -- f(x) or ---- dx dx
この
d -- dx
は、後に記載する関数をxで微分するって意味のよう。
このdは記号みたいなもの。
※英語で微分はdefferentialらしく、そこからdかも?との情報があり。
微分の公式
上記より関数f(x)の微分(導関数の算出)は、以下式から算出できる。
lim f(x + h) - f(x) h→0 --------------- h
だけど面倒臭い。微分をする為の公式がある。
公式その2
(af(x))' =af'(x)
aは定数
(af(x))' = af'(x)
例) (4x^3)' = 12x^2
公式その3
aは定数
a' = 0
aは定数の為、変わらない。よって傾きは常に0。
(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)
例1) (x^3 + x^2)' = 3x^2 + 2x
例2) (x^3 - x^2)' = 3x^2 - 2x
例3) (x^3 + x^2 - x)' = 3x^2 + 2x - 0