pikesaku’s blog

個人的なプログラム勉強メモです。記載内容について一切の責任は持ちません。

微分の勉強2

参考

微分積分入門

このサイトは、更に深い内容を分かりやすく教えてくれる!ありがとうございます!

極限値とは

極限値

関数f(x)がある場合
xがaに限りなく近づいた場合の、関数f(x)の結果を、以下で表わす

lim  f(x)
x→a

この場合、aを極限値という。

極限値を含む数式の展開は、基本的に代入すればOK

以下の場合

lim  x^2
x→2

xに2を代入して以下となる

2^2 = 4

代入でダメな場合もあり。

以下の場合

lim  x^2 + 2x
x→0 --------
        x

xに0を代入すると、分母が0となり計算できない。
この場合は、別の式に変形してから代入する。

x^2 + 2x
--------
   x

↓

x + 2

↓ xに0を代入して

2

関数の傾き

f(x) = 2x
関数の傾きは2で固定

f(x) = x^2の傾きは不定。グラフにすると曲線になる。

極限値を使うと、x^2のグラフの特定地点の傾きを数式で表せる。

hをxの増加分とすると、、、

lim  (x+h)^2 - x^2
h→0 -------------
           h

xが1の場合、上記数式を展開すると

lim  (1+h)^2 - 1^2
h→0 -------------
            h

↓

lim  1 + 2h + h^2 - 1
h→0 -------------
            h

↓

lim  2h + h^2
h→0 --------
        h

↓

lim  2 + h
h→0

↓

2

たとえば、以下の関数のx=2の時の傾きは
f(x) = x^3 - 1

lim  ((2 + h)^3 - 1) - (2^3 - 1)
h→0 ---------------------------
                 h

↓

lim  {(2 + h)(2 + h)(2 + h) - 1} - 7
h→0 -------------------------------
                h

↓

lim  {(4 + h^2 + 4h)(2 + h) - 1} - 7
h→0 ------------------------------
                h

↓

lim  {(8 + 2h^2 + 8h) + (4h + h^3 + 4h^2) - 1} - 7
h→0 -----------------------------------------------
                        h

↓

lim  6h^2 + 12h + h^3
h→0 -----------------
           h

↓

lim  6h + 12 + h^2
h→0 

↓

12

関数の傾きを算出する数式

xに値を代入せずに数式を展開すると、、、(任意の値x時の傾き)

f(x) = x^3 - 1の場合

lim  {(x + h)^3 - 1} - (x^3 - 1)
h→0 -------------------------
                 h

↓

lim  {(x + h)(x + h)(x + h) - 1} - (x^3 - 1)
h→0 ---------------------------------------
                 h

↓

lim  {(x^2 + 2xh + h^2)(x+h) - 1} - (x^3 - 1)
h→0 ----------------------------------------
                 h

↓

lim  {(x^3 + hx^2) + (2hx^2 + 2xh^2) + (xh^2 + h^3) - 1} - (x^3 - 1)
h→0 --------------------------------------------------------------
                 h

↓

lim  (x^3 + 3hx^2 + 3xh^3 + h^3 - 1) - (x^3 - 1)
h→0 -------------------------------------------
                 h

↓

lim  3hx^2 + 3xh^3 + h^3
h→0 -------------------
                 h

↓ あと、もうちょい。

lim  3x^2 + 3xh^2 + h^2
h→0 

↓ 

3x^2

これが、f(x) = x^3 - 1の任意の点xの傾きを表わす数式となる。

x=2の時は、3*2^2=12

さっきの算出結果とあっている!

微分とは?

f(x)の任意のxの値における傾きを算出する数式を求めること

「f(x)を微分する」

とは、

さっきの数式を導きだすこと。

また、

微分によって求められた数式を導関数

と呼び

元の関数を原始関数

と呼ぶ

導関数の表記

f(x)の導関数は、、、

lim   f(x+1) - f(x)
h→0  -------------
             h


で表わせる。

他にも以下の表記があり。

f'(x)

また

・
f(x)

またまた

d           df(x)
-- f(x) or ----
dx          dx

この

d
--
dx

は、後に記載する関数をxで微分するって意味のよう。
このdは記号みたいなもの。
※英語で微分はdefferentialらしく、そこからdかも?との情報があり。

微分の公式

上記より関数f(x)の微分(導関数の算出)は、以下式から算出できる。

lim  f(x + h) - f(x)
h→0 ---------------
             h

だけど面倒臭い。微分をする為の公式がある。

公式その1

(x^n)' = nx^(n-1)

例)
(x^3)' = 3x^2
(x^2)' = 2x
(x)' = 1

※x^3を()'でくくる=x^3の導関数

公式その2

(af(x))' =af'(x)

aは定数
(af(x))' = af'(x)

例) (4x^3)' = 12x^2

公式その3

aは定数
a' = 0

aは定数の為、変わらない。よって傾きは常に0。

(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)

例1) (x^3 + x^2)' = 3x^2 + 2x
例2) (x^3 - x^2)' = 3x^2 - 2x
例3) (x^3 + x^2 - x)' = 3x^2 + 2x - 0

これらの公式を使えば、複雑な式も微分できる。

例)
a,b,cは定数
f(x) = ax^2 + bx + c

f'(x) = 2ax + b + 0 = 2ax + b

微分係数とは?

導関数に値を代入した結果

例)さっきの式では

原始関数が f(x) = x^3 -2 の場合、導関数は、3x^2

x=2の時、3*2^2=12

この12が微分係数となる。

微分の使い道

グラフの形が想像できる!

微分係数がプラスの値の時は、グラフは右肩上がり
微分係数がプラスの値の時は、グラフは右肩下がり

微分で求められた導関数を見れば、なんとなくグラフの形(グラフの概形)が分かる!

例) f(x) = x^2 の場合

導関数は2x

xがプラスならば、微分係数がプラスになる→右肩上がり
xがマイナスならば、微分係数がマイナスになる→右肩上がり
xが0の時は、微分係数が0になる→平行線

おまけ

原始関数→導関数を導く処理を微分

積分は、
導関数→原始関数
をする処理のよう。